Líneas de Espera

Unidad 4

4.1 Estructura básica de modelos de línea de espera.

Modelos de línea de espera:

Los modelos de línea de espera consisten en fórmulas y relaciones matemáticas que pueden usarse para determinar las características operativas (medidas de desempeño) para una cola. 

Las características operativas de interés incluyen las siguientes:
 * Probabilidad de que no haya unidades o clientes en el sistema
* Cantidad promedio de unidades en la línea de espera
* Cantidad promedio de unidades en el sistema (la cantidad de unidades en la línea de espera      más la cantidad de unidades que se están atendiendo)
* Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera
* Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema (el tiempo de espera más el tiempo de servicio)
* Probabilidad que tiene una unidad que llega de esperar por el servicio.

Cola:

Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.                                                                                                         

Sistemas de colas:

Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas. En la siguiente figura podemos ver un ejemplo de modelo de colas sencillo. Este modelo puede usarse para representar una situación típica en la cual los clientes llegan, esperan si los servidores están ocupados, son servidos por un servidor disponible y se marchan cuando se obtiene el servicio requerido.

Objetivos de la Teoría de Colas

Los objetivos de la teoría de colas consisten en:

·        Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo.

·        Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.

·        Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.

Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

 Elementos existentes en un modelo de colas

§        Fuente de entrada o población potencial: Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño que parezca) resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando, aún siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera nuevas peticiones de servicio.

§        Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0<t1<t2<…, será importante conocer el patrón de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes. Lo más habitual es tomar como referencia los tiempos entre las llegadas de dos clientes consecutivos: consecutivos: clientes consecutivos: T{k} = tk - tk-1, fijando su distribución de probabilidad.

§        Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el suponerla infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la misma.

§        Disciplina de la cola: Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son:

o       La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.

o       La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último.

o       La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a los clientes de forma aleatoria.

§        Mecanismo de servicio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio.

Costos de los sistemas de colas.

 

    Un sistema de colas puede dividirse en sus dos componentes de mayor importancia , la cola y la instalación de servicio . Las llegadas son las unidades que entran en el sistema para recibir el servicio. Siempre se unen primero a la cola ; si no hay línea de espera se dice que la cola esta vacía . De la cola, las llegadas van a la instalación de servicio de acuerdo con la disciplina de la cola, es decir, de acuerdo con la regla para decidir cuál de las llegadas se sirve después. El primero en llegar primero en ser servido es una regla común, pero podría servir con prioridades o siguiendo alguna otra regla. Una vez que se completa el servicio, las llegadas se convierten en salidas.

Ambas componentes del sistema tienen costos asociados que deben de considerarse.

Costo de Espera.

 

Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se puede aprovechar en otra cosa.

 

Costo de Servicio.

 

Este en la mayoría se trata de comprar varias instalaciones de servicio , en estos casos solo se ocupan los costos comparativos o diferenciales.

 

Estructuras típicas.

 

    Las llegadas pueden ser personas, cartas, carros, incendios, ensambles intermedios en una fabrica, etc. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos de varios sistemas de colas .

 

Ejemplos de sistemas de colas

 

Situación	Llegadas	Cola	Mecanismo de Servicio
Aeropuerto	Aviones	Aviones en carreteo	Pista
Aeropuerto	Pasajeros	Sala de espera	Avión
Depto de bomberos	Alarmas de incendio	Incendios	Depto. De Bomberos.
Compañía telefónica	Números marcados	Llamadas	Conmutador
Lavado de carros	Autos	Autos sucios	Mecanismo de lavado
La corte	Casos	Casos atrasados	Juez
Panadería	Clientes	Clientes con números	Vendedor
Carga de camiones	Camiones	Camiones en espera	Muelle de carga
Oficina de correos	Cartas	Buzón	Empleados por correos
Crucero	Autos	Autos en línea	Crucero
Fábrica	Subensamble	Inventario en proceso	Estación de trabajo.
Cartas de negocios	Notas de dictado	Cartas para mecanografiar	Secretaria
Reproducción	Pedidos	Trabajos	Copiadoras
Hospital	Pacientes	Personas enfermas	Hospital

 

    Permitiendo que varíen el número de colas y el número de servidores, pueden hacerse los diagramas de los cuatro tipos de sistemas de la siguiente figura. Cada línea de espera individual y cada servidor individual se muestra por separado.

Un servidor, una cola

—        El primer sistema se llama un sistema de un servidor y una cola o puede describir un lavado de carros automático o un muelle de descarga de un solo lugar.

N servidores, una cola

—        El segundo, una línea con múltiples servidores, es típico de una peluquería o una panadería en donde los clientes toman un número al entrar y se les sirve cuando llega el turno.

N servidores, n colas

Tercer sistema, aquél en que cada servidor tiene una línea de separada, es característico de los bancos y las tiendas de autoservicio.

Estado del sistema de colas

—En principio el sistema está en un estado inicial

—Se supone que el sistema de colas llega a una condición de estado estable (nivel normal de operación)

—Existen otras condiciones anormales (horas pico, etc.)

—Lo que interesa es el estado estable 

Desempeño del sistema de colas

—Para evaluar el desempeño se busca conocer dos factores principales:

◦El número de clientes que esperan en la cola

◦El tiempo que los clientes esperan en la cola y en el sistema

 

Medidas del desempeño del sistema de colas

—Número esperado de clientes en la cola Lq

—Número esperado de clientes en el sistema Ls

—Tiempo esperado de espera en la cola Wq

—Tiempo esperado de espera en el sistema Ws